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2019年自考高等數學(一)復習要點(六)
第1章函數及其圖形復習提示
本章總的要求是:理解一元函數的定義及函數與圖形之間的關系;了解函數的幾種常用表示法;理解函數的幾種基本特性;理解函數的反函數及它們的圖形之間的關系;掌握函數的復合和分解;熟練掌握基本初等函數及其圖形的性態;知道什么是初等函數;知道幾種常見的經濟函數;能從比較簡單的實際問題建立其中蘊含的函數關系。
本章重點:函數概念和基本初等函數。
難點:函數的復合。
典型例題分析與詳解
一、單項選擇題
1 下列集合中為空集的「」
A {}B {0 }
C 0D{x |x2+1=0,x ∈R }
「答案」選D
「解析」因為A 、B 分別是由空集和數零組成的集合,因此是非空集合;0 是一個數,不是集合,故C 也不是空集。在實數集合內,方程x2+1=0無解,所以D 是空集
2 設A={x |x2-x-6>0 },B={x |x-1 ≤1 },
則A ∩B=「」
A {x |x >3 }B {x |x <-2}
C {x |-2
「答案」選B
「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x<-2,故A={x |x >3 或x <-2};由x-1 ≤1 得x ≤2 ,故B={x |x ≤2 },所以A ∩B={x |x <-2}。
3 設A 、B 是集合{1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9}的子集,且A ∩B={1,3 ,7 ,9},則A ∪B 是「」
A {2,4 ,5 ,6 ,8}B {1,3 ,7 ,9}
C {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9}D {2,4 ,6 ,8}
「答案」選A
「解析」由A ∪B=A ∩B={1,3 ,7 ,9},得A ∪B={2,4 ,5 ,6 ,8}
4 設M={0,1 ,2},N={1,3 ,5},R={2,4 ,6},則下列式子中正確的是「」
A M ∪N={0,1}
B M ∩N={0,1}
C M ∪N ∪R={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
D M ∩N ∩R=(空集)
「答案」選D
「解析」由條件得M ∪N={0,1 ,2 ,3 ,5},M ∩N={1} ,M ∪N ∪R={0,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6},M ∩N ∩R=.
5 設A 、B 為非空集合,那么A ∩B=A 是A=B 的「」
A 充分但不是必要條件
B 必要但不是充分條件
C 充分必要條件
D 既不是充分條件又不是必要條件
「答案」選B
「解析」若A=B ,則任取x ∈A 有x ∈B ,于是x ∈A ∩B ,從而A A ∩B 又A ∩B A ,故A ∩B=A
反之不成立例A={1,2},B={1,2 ,3},顯然A ∩B=A ,但A ≠B
6 設有集合E={x|-1
A B {-1 ,0 ,1}
C {0,1 ,10}D{-1 ,0 ,1 ,10}
「答案」選C
「解析」因E ∩F 是集合E 與F 的公共元素的集合,故E ∩F={0,1 ,10}
7 函數f (x )=1 lg|x-5|的定義域是「」
A (- ∞,5 )∪(5 ,+ ∞)
B (- ∞,6 )∪(6 ,+ ∞)
C (- ∞,4 )∪(4 ,+ ∞)
D (- ∞,4 )∪(4 ,5 )∪(5 ,6 )∪(6 ,+ ∞)
「答案」選D
「解析」由對數的真數大于0 ,分母又不能為0 可求得該函數的定義域由|x-5| >0
|x-5| ≠1 ,得x >5 或x <5
x ≠4 或x ≠6
于是得到該函數的定義域為(- ∞,4 )∪(4 ,5 )∪(5 ,6 )∪(6 ,+ ∞)
8 設f (x )在區間[0 ,1 ]上有定義,則fx+1 4+fx-1 4 的定義域是「」
A [0 ,1 ]B -1 4,5 4
C -1 4,1 4D1 4 ,3 4
「答案」選D
「解析」由0 ≤x+1 4 ≤1
0 ≤x-1 4 ≤1 ,得-1 4≤x ≤3 4
1 4 ≤x ≤5 4
,其公共部分即為該函數的定義域,于是得該函數的定義域為1 4 ,3 4
9 設f (x )的定義域是[0 ,4 ],則f (x2)的定義域是「」
A [0 ,16]B [0 ,2 ]
C [-2,2 ]D [-16 ,16]
「答案」選C
「解析」由條件可得0 ≤x2≤4 ,|x| ≤2 ,-2≤x ≤2 于是f (x2)的定義域為[-2,2]
10函數f (x )=lnx x-2的定義域是「」
A (- ∞,0 )B (2 ,+ ∞)
C (0 ,2 )D (- ∞,0 )∪(0 ,+ ∞)
「答案」選D
「解析」由條件知x x-2 >0 且x ≠2 ,得x >2 或x <0 故f (x )=lnx x-2的定義域為(- ∞,0 )∪(2 ,+ ∞)
11函數f (x )=arcsinx-3 2+x-3 x2-x-6 的定義域是「」
A [1 ,5 ]B [1 ,3 )∪(3 ,5 ]
C [1 ,3 )D (3 ,5 ]
「答案」選B
「解析」由-1≤x-3 2 ≤1
x2-x-6≠0 ,得1 ≤x ≤5 且x ≠3 ,x ≠-2,因此所給函數的定義域為[1 ,3 )∪(3 ,5 ]
12已知f (1 x )=x+x2+1 ,(x >0 ),則f (x )= 「」
A x+x2+1 xB 1+x2+1 x
C x+x2+1 x2+1D1+x2+1 x2+1
「答案」選B
「解析」令1 x=t ,則f (t )=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t,故f (x )=1+x2+1 x
「另解」因為f (1 x )=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1,
故f (x )=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2
=1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x
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